Eine späte Korrektur: diese Strecke wurde erst 1909 elektrifiziert. Somit wäre 1908 möglich.

Auch die an den Masten der Bogenlampen angebrachten Werbe(?)-Schilder sind nicht zu entziffern. Die Masten vor und nach der Annasäule sind zu weit weg, von dem einen im Vordergrund links ist das Schild abgeschnitten. Einzig „IGLS“ ist klar erkennbar, den Rest könnte man spekulativ ergänzen. Dem sichtbaren Ende des gewölbten Schriftzuges oben fehlt vielleicht „INNSBRU“, darunter evtl. „MittelgebIRGS-BAHN „und das „EL“ vor Igls gehört womöglich zum „PATSCHERKOF“. Hilft nur leider nicht weiter.

Bei absolut Null Ahnung in Sachen Straßenbahnen also Datierungs-Versuch anhand der Straßenbeleuchtung:
Die ersten dieser Bogenlampen in der Maria-Theresien-Straße erstrahlten erstmals am 30. August 1899: „(Elektrische Beleuchtung.) Gestern abends hat in der Maria Theresienstraße die Probebeleuchtung mit den eben aufgestellten 5 Bogenlampen stattgefunden. Der Erfolg war ein sehr günstiger, der Beleuchtungseffect ein solcher, dass man die bisherige Gasbeleuchtung damit gar nicht vergleichen kann. In der Maria Theresienstraße sind 5 Bogenlampen à 18 Ampere (ungefähr 2000 Kerzen); sie sind auf Mannesmann-Rohrmasten mit 10 Meter Lichtpunkthöhe angebracht und wurden von den österreich. Schuckertwerken geliefert. Es sind Bogenlampen neuesten Systems, welche auch den Vortheil haben, dass sie sich, wie man gestern abends bemerken konnte, durch ein besonders ruhiges Brennen auszeichnen. Dieses ruhige Brennen trotz einer allfälligen Spannungsschwankung im Werke wird durch kleine Transformatoren bewirkt. Es wurden bei dieser unserer elektrischen Beleuchtung überhaupt die neuesten Errungenschaften auf diesem Gebiete benützt. Die Straßenüberspannung zwischen Czichna und dem Adamhause ist ebenfalls nach dem neuesten System und durch eine äußerst sinnreiche Vorrichtung derart construiert, dass man die Lampe mittels einer einzigen Kurbel seitwärts und abwärts leiten kann. Mit der gestrigen Probebeleuchtung hat nun die ständige elektrische Beleuchtung der Maria-Theresienstraße begonnen. Bekanntlich wurde vor 10 Jahren anlässlich der Eröffnung des Elektricitätswerkes ebenfalls eine elektrische Beleuchtung dieser Straße provisorisch (auf Masten mit oberirdischer Leitung) vorgenommen. Damals wurde der Wunsch ausgesprochen, dass dieses neue schöne Licht auch in Innsbruck eingeführt werden möge. Dass nun damit, ohne dass der Stadt größere Kosten erwachsen, begonnen werden konnte, ist der Erwerbung des Werkes durch die Stadt und dem verständnisvollen Vorgehen des Verwaltungsrathes zu verdanken. Die Installation wurde nämlich schon von dem Werke selbst u. z. aus dem im vorigen Jahre erzielten Gewinn bezahlt. Die Kosten für die Beleuchtung dieser 5 Bogenlampen, welche die ganze Nacht brennen, werden aus dem Beleuchtungspauschale der Stadt getragen und es wird hiefür nur die Summe bezahlt, welche die bisherigen Gaslampen, die bekanntlich nicht die ganze Nacht brannten, kosteten. Also um demselben Aufwand kommt die Stadt nun in den Besitz des elektrischen Straßenlichtes. Für nächstes Jahr bereits ist die Errichtung von Bogenlampen auf dem Bahnhofplatz, in der Rudolfstraße, auf dem Margarethenplatz und in der Landhausgasse, vielleicht auch auf dem Platze vor der Hofburg in Aussicht genommen. Dann sollen andere Straßen darankommen und so ist denn begründete Hoffnung, dass in nicht allzuferner Zeit das elektrische Straßenlicht allgemein in unserer schönen Stadt erstrahlen wird.“ (IN, 31. August 1899, S 2)

Über die in diesem Artikel erwähnte, bereits 10 Jahre früher durchgeführte provisorische Beleuchtung berichteten die IN am 12. 8. 1889, S 4: „(Elektrisches.) Die vom Elektrizitätswerke Ganz & Comp. in der Maria Theresienstraße aufgestellten Bogenlampen sind vorläufig nur dazu bestimmt um eine Probe der Straßenbeleuchtung zu geben. [ … ]“

Ich nehme an, die Aufstellung der Lampen erfolgte deshalb vor der offiziellen Eröffnung des Kraftwerkes Mühlau, weil anlässlich dieser Feier u. a. auch die Funktionsfähigkeit der Straßenbeleuchtung in der Theresienstraße demonstriert werden sollte:
https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=ibn&datum=18890819&seite=3&zoom=58&query=%22Elektrizit%C3%A4tswerk%22&ref=anno-search

Trifft es zu, dass keine Fahrleitung vorhanden ist, für mich ein Haupt-Indiz, dann kann das Foto nur bis spätestens kurz vor der Abnahmefahrt der elektrischen Stadtbahn am 14.7.1905 aufgenommen worden sein. 1900 passt da gut dazu, 1908 nicht.

Was sehe ich sonst für Datierungshilfen?

Die flächendeckende öffentliche elektrische Beleuchtung in der Innenstadt und auch in der Maria-Theresien-Straße mit den großen Niederdruck-Gasentladungslampen, die hier sehen zu sehen ist, wurde erst mit dem Kraftwerk Obere Sill mit Inbetriebnahme 1903 möglich, bis dahin bestand die Straßenbeleuchtung größtenteils noch aus Gasleuchten. Aber blöderweise wurde ab 1899 ausgerechnet genau dort in der Maria-Theresien-Straße die später stadtweit eingeführte elektrische Beleuchtung auf Querspannern und hohen Lampenpfosten getestet, was ein ansonsten gültiges „frühestens 1903“ hinfällig macht.

Doch wie passt, wie Herr Auer ja anmerkt, das rechts zu sehende Geschäftsschild „Warenhaus S“ (das Kaufhaus Bauer & Schwarz?) dann ins Bild, zumal dieses Kaufhaus erst 1908 eröffnet wurde? Kann es vielleicht sein, dass das Kaufhaus Bauer & Schwarz schon vor 1908 einen Vorläufer hatte, der z.B. „Warenhaus Schwarz“ hieß?

Um die Konfusion zu vervollständigen, rumpelt die Dampftram hier östlich der Litfasssäule vorbei. Auf diesem mit 1900-1904 datierten Bild ist das Gleis jedoch auf der anderen Seite dieser Säule:
https://postimg.cc/HVBjykMS (Foto: unbekannt, Papierabzug aus meiner Slg.)

Dazu passt aber, dass gemäß „Kreutz“ (Auflage 3, S. 17) im Jahr 1901 gefordert wurde, dass die Gleise der Dampftram zur Mitbenützung durch die Stadtbahn als Rillenschienen neu zu verlegen und neu einzupflastern seien. Das ist dann auch passiert, es wanderte auch auf die andere Seite der Annasäule.
Auf dieser göttlich knackscharfen AK von Fritz Gratl, gelaufen 1909, ist die Gleislage nach Anpassung für die elektrische Tram gut zu erkennen, und auch dass die Vorbeifahrt an der Litfasssäule ab dann ostseitig erfolgte:
https://postimg.cc/cv7XqJDB

Abschließend in leichter Konfusion: Indizien widersprechen sich hier. Die fehlende Pflasterung, die Position des Gleises und die fehlende Fahrleitung würden mich aber beim Beitragsfoto ca. 1902 bis spätestens Q1/1905 vermuten lassen. Vor der elektrischen Tram, aber nach Anpassung der Gleisanlage für die elektrische Tram. Die schlechte Sichtbarkeit der Schienen dürfte daher rühren, dass es sich bereits um Rillenschienen handelt, die aber noch nicht eingepflastert sind. Die anfänglich auch im Straßenraum verwendeten Vignolschienen sind auf anderen Fotos deutlich sichtbar.

Es sind sicher noch nicht alle Indizien ausgewertet und es bleiben Fragen offen. Trotzdem lasse ich es jetzt bleiben, andere sollen ja auch noch Spaß daran haben. xD